DSE 物理 · Topic II
力和運動
Force and Motion
本課題由運動學的矢量與圖像入手，建立 SUVAT 與自由落體，再用牛頓三定律分析受力，延伸到拋體、圓周、動量守恆與功能關係。DSE 重視「先定正方向、後列因果」，幾乎所有失分都來自符號處理、合力概念與向心力的誤解。
01
II.1 運動學
Kinematics
矢量正負號、SUVAT 適用條件、自由落體對稱性，以及 s-t / v-t 圖像的斜率與面積
核心考點
1. 矢量正負號與 SUVAT 方程
考評提示：先定正方向；SUVAT 只限等加速度直線運動
- 定義 位移、速度、加速度均為**矢量**，正負號代表**方向**而非大小；路程與速率才是純量。
- 流程 開題先**定正方向**（通常向右或向上為正），反方向的量一律代負值並貫徹全題；速度改變量 = 末速 − 初速，可正可負。
- 公式 四條 SUVAT：**s = ut + ½at²、v = u + at、v² = u² + 2as、s = ½(u + v)t**，每條恰好略去一個量；先列已知 (s,u,v,a,t) 再選方程。
- 易錯陷阱 SUVAT ^^只適用於等加速度直線運動^^；一旦加速度隨時間改變（如空氣阻力漸增至終端速度），便不可使用。
- 易錯陷阱 加速度為負^^不代表減速^^：若速度也為負，物體實際加速；速度與加速度同號才加速，異號才減速。
2. 自由落體與上拋的對稱性
考評提示：g 恆向下；最高點 v = 0 但 a 仍為 g
- 公式 自由落體加速度 **g ≈ 10 m s⁻²**（DSE 慣用值）恆向下，忽略空氣阻力；取向上為正時 g 代 −10，取向下為正時代 +10，全題一致。
- 考評重點 上拋具**時間對稱性**：上升時間 = 回到同一高度的下落時間；末速大小 = 初速大小，方向相反。
- 易錯陷阱 最高點 ^^速度為零但加速度仍為 g 向下^^，切勿寫成「加速度為零」或「合力為零」。
- 計算 由靜止落下：v = gt，s = ½gt²；s 是**位移**而非路程，先升後落時須分段或用位移處理。
3. 運動圖像：斜率與面積
考評提示：s-t 斜率＝速度；v-t 斜率＝加速度、面積＝位移
- 圖像 **s-t 圖**斜率 = 瞬時速度；曲線上彎（凹）= 加速，下彎（凸）= 減速；但 s-t 圖^^不能直接讀出加速度數值^^，只能判斷其正負。
- 圖像 **v-t 圖**斜率 = 加速度；水平線 = 等速（加速度為零，不是靜止）；曲線 = 加速度不均勻，不可用 SUVAT。
- 計算 **v-t 圖下方面積 = 位移**（有正負）：時間軸上方為正位移，下方為負位移；求路程須取面積大小相加，不可正負相消。
- 考評重點 答「描述運動」要寫初速、加速度方向、是否靜止或反向，^^不可只說「圖線向上」^^；速度為零（圖線交時間軸）不等於靜止。
常見題型
試由速度-時間圖描述物體的運動並求位移（3 分）
- 斜率為加速度：指出加速、減速或等速階段（1 分）。
- 圖線交時間軸代表速度反向，而非靜止（1 分）。
- 位移 = 圖線下方面積（取正負號相加）（1 分）。
02
II.2 力、牛頓定律
Forces & Newton's Laws
牛頓三定律、自由體圖、摩擦力、斜面與升降機受力分析，以及浮力
核心考點
1. 牛頓三定律與受力概念
考評提示：平衡＝合力為零（含等速）；F=ma 的 F 是合力
- 定義 **第一定律（慣性）**：合外力為零時物體保持靜止或等速直線運動；慣性隨質量增大；^^靜止與等速都是平衡態，運動不一定需要合力^^。
- 邏輯 **第二定律 F = ma** 的 F 是**合力**，不是其中一個外力；方向與加速度一致。等速或靜止 ⇒ a = 0 ⇒ 合力為零，^^而非「沒有力」^^。
- 定義 **第三定律**：作用力與反作用力大小相等、方向相反、沿同一直線、作用於**不同物體**，且必為同一類型（接觸對接觸、重力對重力）。
- 易錯陷阱 ^^書放桌上：書的重力與桌的正向反作用力並非作用反作用對（是平衡力對）^^；正確的對是「書壓桌」與「桌推書」。
2. 自由體圖、摩擦力與斜面
考評提示：先畫 FBD；斜面分解重力 mg sinθ / mg cosθ
- 流程 畫**自由體圖**步驟：選對象 → 孤立 → 逐一列出接觸力與非接觸力（含重力）→ 標方向；^^切勿把「向心力」當作額外箭咀加入^^。
- 對比 **最大靜摩擦力 f = μₛN**，外力未達此值時靜摩擦力等於外力（方向相反）；超過便滑動，轉為**動摩擦力 μₖN**，且 μₖ < μₛ。
- 計算 斜面把重力分解為沿面向下 **mg sinθ** 與垂直面內 **mg cosθ**；正向反作用力 **N = mg cosθ**（無垂直加速度時）；^^N 與 mg cosθ 已互相平衡，不可同時再列入沿面合力^^。
- 公式 摩擦力方向由運動**趨勢**決定：趨向下滑則摩擦向上；沿斜面列式 mg sinθ − f = ma，其中 f = μmg cosθ。
3. 升降機視重與浮力
考評提示：N − mg = ma；浮力 = ρ_液 V_排 g
- 計算 升降機取向上為正：**N − mg = ma**。加速上升 a>0 ⇒ N>mg（覺重）；加速下降 a<0 ⇒ N<mg（覺輕）；繩斷自由落 a=−g ⇒ **N=0 失重**。
- 易錯陷阱 ^^等速上升或下降時 a = 0、N = mg，視重等於真實重量^^；不要以為「向上」就一定覺重。
- 公式 **阿基米德原理**：浮力 = 被排開液體的重量 = **ρ_液 V_排 g**，方向向上；合力決定上浮、懸浮或下沉。
- 對比 浮 ρ_物<ρ_液（部分浸沒）、沉 ρ_物>ρ_液、懸浮 ρ_物=ρ_液；^^沉底物體仍受浮力，底面正向反作用力 = 重力 − 浮力^^。
常見題型
物體在傾角 θ 的粗糙斜面上靜止，試列出受力並解釋為何不下滑（3 分）
- 畫 FBD：重力 mg、正向反作用力 N、靜摩擦力 f（1 分）。
- 垂直斜面：N = mg cosθ；沿斜面下滑分量 = mg sinθ（1 分）。
- 靜摩擦力 f = mg sinθ 沿斜面向上與下滑分量平衡，故合力為零、物體靜止（1 分）。
03
II.3 拋體運動與圓周運動
Projectile & Circular Motion
拋體水平/垂直分量的獨立性、向心加速度與向心力來源、垂直圓周與軌道運動
核心考點
1. 拋體運動：水平與垂直分量
考評提示：水平等速、垂直受 g；兩方向共用同一個 t
- 流程 忽略空氣阻力時，**水平無外力 ⇒ 水平速度 uₓ 恆定**，水平位移 x = uₓt；垂直方向受 **g 向下**加速。
- 考評重點 水平與垂直運動^^共用同一時間 t^^：先用一個方向求 t 再代入另一方向；同一高度水平拋出的物體不論初速大小都同時落地。
- 公式 斜拋（仰角 θ）：u_y = u sinθ、uₓ = u cosθ，垂直用 v_y = u sinθ − gt（向上為正）；^^不要漏掉初速的垂直分量^^。
- 計算 任一時刻合速度 **= √(uₓ² + v_y²)**，方向 tan φ = v_y / uₓ；^^合速度不等於水平速度^^，須用勾股定理並說明角度定義。
2. 圓周運動：向心力的來源
考評提示：先寫「哪個力提供向心力」；F = mv²/r = mω²r
- 公式 等速圓周：速率不變但方向持續改變 ⇒ 存在指向圓心的**向心加速度 a = v²/r = ω²r**；向心力 **F = mv²/r = mω²r**，其中 v = ωr、ω = 2π/T = 2πf。
- 易錯陷阱 ^^向心力不是一個新力^^，而是由實際力（張力、摩擦力、重力分量、正向反作用力）提供的合力，方向始終指向圓心；答題必先寫「哪個力提供向心力」。
- 邏輯 等速圓周中向心力垂直於速度 ⇒ **淨功為零**（W = Fs cos90° = 0），動能不變；但垂直圓周中重力做功，速率會改變。
- 計算 水平彎道最大速率：靜摩擦力提供向心力，臨界 μmg = mv²_max/r ⇒ **v_max = √(μgr)**，與質量無關。
3. 重力場中的軌道運動
考評提示：重力提供向心力 GMm/r² = mv²/r；T² ∝ r³
- 公式 衛星圓軌道：**重力提供向心力 GMm/r² = mv²/r ⇒ v = √(GM/r)**；軌道越高 r 越大則速率越慢。
- 邏輯 由 T = 2πr/v 得 **T² = (4π²/GM)r³**，即**開普勒第三定律 T² ∝ r³**；地球同步衛星週期 24 小時、軌道約 35 786 km。
- 易錯陷阱 圓軌道能量：KE = GMm/(2r)、GPE = −GMm/r、**總能量 E = −GMm/(2r)**；^^軌道越高，速率越慢但總機械能越大（負值絕對值越小）^^。
常見題型
小球用繩在豎直平面內作圓周運動，試求繩在最高點不鬆弛的最小速率（3 分）
- 最高點重力與張力同指向圓心：T + mg = mv²/r（1 分）。
- 繩不鬆弛要求 T ≥ 0，臨界時 T = 0（1 分）。
- 代入得 v_min = √(gr)（1 分）。
04
II.4 動量與碰撞
Momentum & Collisions
動量守恆條件、衝量-動量定理、彈性與非彈性碰撞、爆炸與二維碰撞
核心考點
1. 動量守恆與衝量-動量定理
考評提示：先驗外力可忽略，再守恆；Ft = Δp 是矢量式
- 定義 系統所受**合外力為零或可忽略**時，碰撞前後總動量守恆；動量 **p = mv 是矢量**，一維碰撞先定正方向再代入正負速度。
- 公式 **衝量-動量定理 F̄·Δt = Δp = mv − mu**；同一動量改變下增大 Δt 可減小平均力 F̄，正是安全氣袋、海綿墊、屈膝著地的原理。
- 圖像 **F-t 圖下方面積 = 衝量 = 動量改變量**；該面積等於 Δp，不等於 F̄ × Δt 除非圖像為矩形。
- 易錯陷阱 ^^Δp 是矢量，方向與加速度一致^^：速度由右向左為負，代入時切勿漏掉負號，否則平均力方向會算錯。
2. 彈性、非彈性碰撞與爆炸
考評提示：彈性＝動量+動能皆守恆；非彈性只守恆動量
- 對比 **彈性碰撞**同時守恆總動量與**總動能**（兩方程可解兩未知）；等質量彈性碰撞特例為**速度互換**。
- 計算 **完全非彈性碰撞**：兩物黏在一起以共同速度移動，m₁u₁ + m₂u₂ = (m₁+m₂)v_共，**動量守恆但動能不守恆**，損失的動能轉為熱、聲、形變能。
- 考評重點 **爆炸**：爆前若靜止總動量為零，爆後 m₁v₁ + m₂v₂ = 0，碎片反向飛出、動量大小相等；^^動能反而增加（化學能/彈性位能轉為動能）^^。
- 易錯陷阱 ^^「彈性碰撞」不等於「物體彈開」^^：非彈性碰撞物體也可彈開，關鍵在動能是否守恆；驗證方法是計算碰前碰後總動能是否相等。
常見題型
試以衝量-動量定理解釋安全氣袋如何減低乘客受傷（3 分）
- 碰撞中乘客的動量改變量 Δp 相同（1 分）。
- 氣袋延長碰撞時間 Δt（1 分）。
- 由 F̄ = Δp/Δt，Δt 增大使平均力 F̄ 減小，故受傷減低（1 分）。
05
II.5 功、能量與重力
Work, Energy & Gravitation
功的方向與功-能定理、機械能守恆與彈性位能、功率與速度的關係
核心考點
1. 功、功-能定理與能量轉換
考評提示：只有沿位移分量做功；W_合 = ΔKE
- 公式 功 **W = Fs cosθ**：只有力沿**位移方向的分量**做功；垂直於位移的力（如向心力、正向反作用力）做零功。
- 邏輯 **功-能定理 W_合 = ΔKE = ½mv² − ½mu²**：合力做正功則動能增、負功則動能減；力不恆定時用此式比 SUVAT 更方便。
- 流程 有摩擦時摩擦力做的**負功 = 損失的機械能**（轉為內能）：|W_摩擦| = ΔKE_損失。
- 易錯陷阱 ^^「合力做零功」不代表物體靜止^^：等速圓周中向心力做零功而動能不變；長題要寫「能量由哪種轉為哪種」，不可只列公式。
2. 機械能守恆與彈性位能
考評提示：無非保守力做功才守恆；EPE = ½kx²
- 公式 動能 **KE = ½mv²**、重力勢能 **GPE = mgh**，單位皆為 J；沒有非保守力做功（或可忽略）時**機械能守恆**，有摩擦則部分轉為內能。
- 公式 **胡克定律 F = kx**（彈性限度內，k 單位 N m⁻¹）；**彈性位能 EPE = ½kx²**，x 為相對自然長度的伸長或壓縮量。
- 計算 彈簧由 x₁ 拉到 x₂，彈力做功 = ½kx₁² − ½kx₂²；釋放時 EPE 轉為動能及／或重力勢能，列式前先確認各量初末狀態。
- 易錯陷阱 ^^F = kx 中 x 是形變量而非彈簧總長度^^；若題目給原長與現長，要先相減才代入。
3. 功率與速度的關係
考評提示：P = Fv；等速時驅動力 = 阻力
- 公式 功率 **P = W/t = 能量轉換率 = Fv cosθ**；力與速度同向時 **P = Fv**，單位 W。
- 邏輯 引擎功率恆定時 **F = P/v**：速度越大驅動力越小，速度越慢驅動力越大。
- 考評重點 車輛等速行駛：驅動力 = 阻力（合力為零），P = F_阻 × v；達**最大速度 v_max** 時驅動力等於最大阻力，P = F_阻 × v_max。
- 易錯陷阱 ^^「功率大」不等於「速度快」^^：同功率下增加阻力會降低最大速度；比較電器或引擎時要分清功率與總能量。
常見題型
物體沿粗糙水平面滑行至停止，試以功-能定理解釋其動能去向（3 分）
- 初動能 ½mu²，末動能為零（1 分）。
- 摩擦力做負功，W_摩擦 = −fs（1 分）。
- 由 W_合 = ΔKE，損失的動能等於摩擦做功量，轉為內能（熱）（1 分）。
